Полная версия

StoRobotov в Москве Московская улица, 14А

Москва, Московская улица, 14А посмотреть на карте
Пн-Пт: 09:00-20:00
тел.: 8(800) 555-32-97, email: citrus@storobotov.ru, http://storobotov.ru

Описание

Компания StoRobotov – это дружественный коллектив простых, но крайне увлеченных своим делом людей. Мы долгое время (с 2013 года) присутствуем на рынке и знаем о роботах-пылесосах абсолютно все!

Нередко звучат заблуждения, называющие такие устройства чем-то вроде «ненужных игрушек». Однако современный робот-пылесос обладает целым рядом преимуществ:

·         100% чистоты без особых усилий. Резвый беспроводной малыш с легкостью доберется в наиболее труднодоступные места вашего жилища и очистит их от любых загрязнений.
·         Полная автоматизация. Робот сам знает время, когда ему нужно приступать к своим обязанностям, подзаряжаться или стоять в тишине, не мешая окружающим.
·         Множество режимов работы. Включая сухую, влажную и комбинированную уборку.
·         Поддержка разных типов покрытия. Лакированный паркет, деревянный пол, столетний бабушкин ковер – никаких проблем!
·         Компактные габариты и отсутствие проводов. Благодаря чему ваш помощник не занимает много места и обладает высокой маневренностью.

В каталоге сайта представлены десятки моделей от различных мировых производителей. Специалисты компании StoRobotov пользуются не только личным опытом, но и реальными отзывами владельцев роботов-пылесосов, чтобы предлагать только лучшую и по-настоящему проверенную технику.
Вы представитель фирмы StoRobotov?
Хотите дать официальные ответы на отзывы?
Получать уведомления о новых отзывах?
Обновить информацию в описании?
Нет ничего проще! Зарегистрируйтесь представителем фирмы StoRobotov!
Внимание! Ваша принадлежность к фирме StoRobotov будет тщательно проверена модераторами сайта!

Отзывы

05.06.2017 10:11 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, Ком
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinрлоou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu Peertqae
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue esertac ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.a
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa uiedoiwiSFOwertgX
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinрлоou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu Peertqae
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue esertac ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.a
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa uiedoiwiSFOwertg
0
0
21.05.2017 21:39
Местоположение пользователя: Россия
Согласен со всеми отрицательными отзывами!!! Меня так же убедил манагер Антон купить их  Ashimo! Не прошло и 2 недели, как он сломался! После того, как  я им позвонил и подал жалобу они и вовсе перестали мне отвечать! Затем дозвонился снова,но уже с другого номера и они меня попросили выслать реквизиты карты для  возврата средств за сломанный пылесос и на этот раз пропали насовсем! Остерегайтесь этих бизнесменов!!! И ничего у них не покупайте! Берите только у проверенных! Ниже прилагаются фото доков, что пылесос был куплен мною! Переписку по почте так же смогупредоставитть
вадим 01.06.2017 19:32
Местоположение пользователя: Россия, Воркута Магазин СтоРоботов сейчас называется netrobot.ru, и продает ту же хрень. ASHIMO.
Кирилл 14.06.2017 01:01
Местоположение пользователя: Россия, Липецк Компания NetRobot (StoRobotov)t – это дружественный коллектив простых, но крайне увлеченных своим делом людей. Мы долгое время (с 2013 года) присутствуем на рынке и знаем о роботах-пылесосах абсолютно все! Сцуки даже не поменяли завлекалово!
0
0
18.05.2017 11:22
Местоположение пользователя: Россия, Липецк
Дополняю информацию.. Что только Вам это даст. .Магазина этого уже нет ... закрыт на реконструкцию :-).. Будет 101 робот....  То что написал Вадим... абсолютно верно... Не нужно верить ни магазину ни отзывам... сами посмотрите Ashimо что такое...  Счастливые владельцы Ashimо поделитесь где теперь купить расходные материплы?
оплата DPD Гарантия
0
0
18.04.2017 10:29 Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1
Местоположение пользователя: Россия, Тверь
Призываю потенциальных покупателей этого магазина, не верьте мне, не верьте им, найдите в интернете пылесос-робот Ashimo из Японии и если найдете покупайте. Не пожалейте времени, посетите их офис Адрес: Химки, Московская улица, 14А
Телефон: 8(800) 555-32-97., и если он есть купите пылесос там.
Я хотел сам доехать туда, но мне сказали что там постоянно отгружают оптовых покупателей и я потеряю время.
Решайте сами, ищите и анализируйте, сейчас в интернете можно найти всю информацию. Не дайте себя надуть.
0
1
06.04.2017 23:01 Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1
Местоположение пользователя: Россия, Москва
Да, разумеется, этот магазин- очередное дополнение к коллекции auto-robotnik. Выставляются товары известных марок на 20-30 процентов дешевле, а затем вас убеждают купить их китайский стодолларовый пылесос (в настоящее время это Ashimo) До этого были Kavity и katsumi. Понятное дело, что концов никто из клиентов не найдет, но я могу посоветовать поискать человека, которого зовут так же, как меня  
2
0
28.03.2017 13:55 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия
Я тоже думаю, что негативный отзыв - просто утка. Все покупали и все работает (в том числе и я, и тут вдруг оказывается, что даже включить не смогли). Не знаю, странно) как-то) Я роботом пользуюсь больше полугода. Все устраивает. Работает хорошо - шустрый такой. Бесшумный совсем.
0
1
21.03.2017 11:57
Местоположение пользователя: Россия
Фейковый магазин пылесосов... Купил пылесос... Манагер Антон (так представился.)...убедил купить пылесос опред. модели со знанием убедил меня что он лучше ( его задача впиндюрить). Тем более что обмен в течении 14 дн без проблем, даже если пользовался и он вам не понравился .  Доставка на уровне.. быстро. Прочитал инструкцию - ничего похожего на что расчитывал, я в ней не обнаружил. Звоню манагеру типа как бы решить проблему по обмену робота пылесоса. Он заверил что вам перезвонят или сами наберите в понедельник - no problem. Все на этом все закончилось... Все доступные телефоны недоступны.... Мои небольшое расследование показало что домену всего 85 дн.!!! Физический адрес также фейковый.  Отзывов об этом магазине практически нет. Около 5 или 8 - типа как все хорошо... Куда я смотрел.... когда связался с ними... Короче... Не свяывайтесь с ним или с ними... То что написано на сайте грамотный развод. Кстати пылесос я так и не включал...может он и не работает ( надеялся на обмен). Теперь в прокуратуру....
Кирилл 17.05.2017 13:56
Местоположение пользователя: Россия, Липецк  Случайно зашел посмотреть. Кому прислать в германию? Мои претензии абсолютно обоснованы. Я подписываюсь под каждым словом... Куда звонить, куда прислать?
6
2
19.03.2017 18:10 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, Москва
IROBOT - лучший пылесос из роботов! Какой же он классный! Просто не могу не нарадоваться. Если б я знал, что он так убирает, давным давно б его себе купил. Сначала денег жалко былоэ. Но поверьте, лучше заплатить сразу, чем потом мучаться с ненавистной уборкой. Теперь я даже не помню уже, каково это мыть полы и пылесосить)
0
1
17.03.2017 11:21 Рейтинг: 4Рейтинг: 4Рейтинг: 4Рейтинг: 4Рейтинг: 4
Местоположение пользователя: Россия
Снимаю одну звезду за доставку. Курьер привез пылесос только через 2 дня. Не знаю, что у них там случилось, но вот поэтому немного не понравилось. К самому пылесосу претензий нет - очень хорошо убирает, моет, много автоматических функций, которые делают уборку еще более автоматизированной (совсем в ней не принимаю участия).
0
1
14.03.2017 12:06
Местоположение пользователя: Россия
Понравился Samsung. Хорошо убирает, не глючит, понимает все команды с первого раза. Вообще, роботы-пылесосы - очень нужная техника, и главное, простая. Не требует внимания почти никакого. Порадовала покупка. Даже не ожидал, что именно так себя робот покажет.
0
1
11.03.2017 15:12 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Франция
Заказывала доставку робота-пылесоса LG в Санкт-Петербург (за передлы КАД). Вышло не очень дорого, зато вполне оперативно. Роботом, который мне привезли, я очень довольна. Отличная техника. Уже не раз опробовала его в своей квартире. Благодарна вам!
0
1
09.03.2017 14:03 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия
Очень советую Samsung VR20J9040WG. Он не очень маленький и плоский, как робот-пылесос в стандартном понимании, но зато собирает мусор хорошо, аккумулятор мощный, долго не разряжается. Понравился.
0
1
06.03.2017 21:04 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, Орёл
В Орел пылесос ехал примерно недели две с учетом выходных и праздничных дней. Оформлял заказ на сайте 17 февраля. Поэтому, доставка выпала на 4 дня выходных в честь 23 февраля. Только недавно получил, но уже успел один раз пропылесосить с его помощью квартиру. Брал irobot. Классно убирает! Я под впечатлением, прямо скажем))
0
1
04.03.2017 21:24 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, Железногорск
Через транспортную компанию покупал пылесос. Живу от Москвы далеко. Но даже с учетом затрат на доставку, вышло очень недорого. Если учесть, что роботы-пылесосы - недешевое удовольствие. Оплачивал при получении. Все нравится. Робот хорош!
0
1
+ Добавить отзыв
или Войти vkokfblj

Пожалуйста, указывайте реальный e-mail адрес! На данный адрес будет отправлено письмо с активационной ссылкой. Комментарий появится на сайте только после перехода по этой ссылке. Нам важно знать, что вы реальный человек, а не спам-бот. Кроме того на данный адрес вы будете получать уведомления об ответах на Ваш отзыв.
Оценка
Положительный отзыв
Нейтральный отзыв
Отрицательный отзыв
Подписаться на рассылку
Я согласен с условиями Пользовательского соглашения

Вы можете приложить к своему отзыву картинки (чек, решение суда, договор и т.п.).
Максимальный размер файла 3 МБ и не более 2000 x 2000 пикселей.

Добавить...

Ближайшие Электроника и бытовая техника в Москве

г. Москва
Сайт: http://netrobot.ru
г. Москва
Тел.: +7 (495) 545-49-81
Сайт: http://myproektor.ru
г. Москва
Тел.: +7 (800) 350 20 06
Сайт: http://www.terminal-pack.ru/
г. Москва
Тел.: +7 (499) 490-08-79
Сайт: http://ashimo.jp/ru/

Лучшие Электроника и бытовая техника в Москве

г. Москва
г. Москва
Сайт: http://technopride.ru
г. Москва
Тел.: +7 (495) 215-18-35
Сайт: http://finorgs.com