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Ashimo - информация и отзывы. Москва

Москва, улица Академика Анохина, 2к7 посмотреть на карте
Пн-Пт: с 8:00 - 20:00 Cб-Вс: с 8:00 - 17:00
тел.: 7 (499) 490-08-79, email: info@ashimo.jp, http://ashimo.jp.com

Описание

Представляем Вашему вниманию робот – пылесос «Ashimo» с функцией влажной уборки и возможностью автоматической зарядки.
Робот – пылесос «Ashimo» прекрасно очищает твердые напольные и ковровые покрытия, может использоваться для влажной уборки. Это настоящий пылесос с мощным всасыванием и двойной системой боковых щеток.
У пылесоса «Ashimo» тонкий корпус и компактные габариты: толщина 7.9 см при диаметре 33 см. Это позволяет ему попадать в любые труднодоступные места, туда, куда сложно попасть обычным пылесосом или же другим роботизированным пылесосам.
Пылесос обладает сенсорным управлением и настраиваемым планировщиком уборки, что делает его использование удобным и комфортным. А полнофункциональный пульт дистанционного управления добавляет еще больше комфорта при управлении пылесосом.
Множество автоматических режимов уборки обеспечивает максимальную чистоту Вашего дома при использовании минимального числа операций. Вы просто находите нужный режим, запускаете его, и робот – пылесос выполняет всю работу за Вас!
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Елена
Елена
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Отзывы

29.05.2017 09:40 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, Ком
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
0
0
27.05.2017 12:41 Рейтинг: 4Рейтинг: 4Рейтинг: 4Рейтинг: 4Рейтинг: 4
Местоположение пользователя: Россия, Санкт-Петербург
 Якобы сайт японской фирмы ASHIMO.JP зарегистрирован 23.12.2017 г. на гражданина с русским именем и фамилией. Не попадайте на "развод"  и хорошую рекламную компанию. ashimo ЭТО КИТАЙСКИЙ РОБОТ QQ6(СТОИТ 13-14 ТЫС.РУБЛЕЙ НА  АЛИЭКСПРЕСС) C С НАКЛЕЙКОЙ ASHIMO, ПРОДАЕТ ИНТЕРНЕТ МАГАЗИН NETROBOT.RU.
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26.05.2017 11:26 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, undefined
Меня ашимо абсолютно устроил. Пылесос не уступает по характеристикам и работе. А где он там сделан мне вообще по барабану, если честно
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26.05.2017 10:52
Местоположение пользователя: Россия, Владимир
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e
P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj 1 ia i?aainoiayo
X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
jувсыв
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)xвмуыв
Отзыв от:
амва
#
19.05.2017
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
0
0
25.05.2017 19:47 Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1
Местоположение пользователя: Россия, Воркута
ashimo ЭТО КИТАЙСКИЙ РОБОТ QQ6(СТОИТ 13-14 ТЫС.РУБЛЕЙ НА  АЛИЭКСПРЕСС) C С НАКЛЕЙКОЙ ASHIMO, ПРОДАЕТ ИНТЕРНЕТ МАГАЗИН NETROBOT.RU ВОТ ОТЗЫВ РЕАЛЬНОЙ СЧАСТЛИВОЙ ОБЛАДАТЕЛЬНИЦЫ Наталия 24.05.2017 17:15
Местоположение пользователя: Россия, МоскваУра!!!! Есть инфо!!!! Нет худа без добра.... Просто я дура, которую кинули..... Добиваюсь возврата.....
Чек дают от ООО "Клео-Логистик", указан поставщик заказа ООО "Удача".
Юрид.адрес: СПб, ул.Бухарестская, д.67, корп.1, помещение 1-Н. В Нете есть все данные про эту контору, можно найти легко, спасибо чеку.....
По адресу конторы нет. В Москве по Очаковской - конторы нет.
Формулировка товара в чеке ВНИМАНИЕ!!! НАПИСАНО!!!!
Стои-ть Заказа, в.т.ч.вознаг.агента, т.е. в суде, вы не докажите, что отдали за товар 39 990, получится, что 10% стоит товар, остальное услуги, которые вам оказали полностью.....
Никто кроме данной конторы, больше этот товар не продает, должно насторожить...... Или все остальные идиоты, и не хотят зарабатывать деньги на таком отличном товаре...... 
Менеджер 26.05.2017 10:00
Местоположение пользователя: Россия, Москва Уважаемый автор! С Натальей Орловой, которая оставила данный отзыв, все проблемы были решены уже 23 мая 2017 года в пользу клиента!
Не нужно бездумно копировать отзыв, который уже не имеет информационной нагрузки!
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24.05.2017 16:34 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Молдова, Тирасполь
Мы купили робот-пылесос ashimo, когда навещали сына в России. У нас я таких и не видел. Отличный агрегат. Главное, что не китайский. Приятно наблюдать, как он делает за тебя всю работу по уборке, когда ты лежишь на диване и смотришь телевизор. Работает тихо. Может и под диван проникнуть, и пыль убрать, и еще полы вымыть. Сам себя подзаряжает если это необходимо.
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24.05.2017 16:28 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Украина, Запорожье
Долго выбирал модель и вот стоило мне увидеть это чудо инженерной мысли, как влюбился в него с первого взгляда. По функционалу нареканий нет, справляется с работой на ура, точно сканирует преграды, ни разу не врезался, не шумный, очень автономный, убирает мелкий мусор и перепроверять несколько раз. Пульт удобный, без лишних трудностей. П.С. коту безгранично нравится эта штука.
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24.05.2017 16:22 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Юлия Евгеньевна Местоположение пользователя: Россия, undefined
Приобрела пылесос Ashimo и ни разу не пожалела о покупке. У меня маленький ребенок, нужно,чтобы дома было чисто,а времени на уборку часто не хватает( пылесос очень даже выручает. Нравится, что есть функция влажной уборки, всю пыль прибивает, еще он тонкий, так что может залезать во все труднодоступные места. Служит исправно уже пару месяцев, к тому же, есть гарантия, так что я спокойна.
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24.05.2017 16:19 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, Волгоград
Это мой первый робот и он мне очень симпатичен. Принесла домой в субботу, и сразу убирать недельную пыль в 3-х комнатной квартире. Набрал аж 3 контейнера, зато теперь при ежедневном включении набирает не больше 1/2 контейнера, и несмотря на наличие кота в доме, кругом все чисто, хотя обычно на следующий день шерсти кругом валом. Конечно, домашнюю работу он облегчает просто нереально. Каждый день радуюсь своему приобретению! 
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23.05.2017 17:35
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii aoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?iiОтветить/дополнить отзыв 0  0xx 10.05.2017 13:10 
Местоположение пользователя: Россия, undefinedAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C,
0
0
23.05.2017 17:33
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii aoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?iiОтветить/дополнить отзыв 0  0xx 10.05.2017 13:10 
Местоположение пользователя: Россия, undefinedAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ?
0
0
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Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii aoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?iiОтветить/дополнить отзыв 0  0xx 10.05.2017 13:10 
Местоположение пользователя: Россия, undefinedAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2 
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) 
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ?
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19.05.2017 23:36 Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1
Местоположение пользователя: Россия, Санкт-Петербург
Во продавцы Ashimo возбудились, даже Иуан  из Германии мне войну объявил. Наверно как барон Мюнхаузен, тот тоже с 16 часов воевал с Англией. Теперь буду ходить и бояться как он советова или смеяться.
Ищут доверчивых покупателей начитавшихся положительных отзывов.(некоторые аж из германии отзывы шлют)
Впариваете китайскую хренотень типа QQ6 без навигации, картографии и т.п.  Нормальные, в принципе пылесосы, но цена им - 12 тыщ рублей, не больше.  Никак не 27-40. "Японский" сайт ashimo.jp зарегистрирован на Владимира Чулкова почему-то. (https://www.nic.ru/whois/?domain=ashimo.jp) "Японский" текст на сайте - от гугл переводчика - полный пипец, к японскому языку отношения очень мало имеет, показывали носителям. Нагоняете трафик на свой netrobots по запросам роботов-пылесосов других марок, набираете звонков и заказов за счет низких цен, но по телефону впариваете свою "ашиму" под любыми предлогами. Это мо#енничество, друзья, и скоро вам пи#дарики придут. Ждите и бойтесь! Каждый следующий заказа на 50 процентов - контрольная закупка.  За свои поступки нужно отвечать.Иван 19.05.2017 13:25
Местоположение пользователя: Германия, undefinedЖди и бойся ты))))!! Обратный отсчет запущен)))!!  
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19.05.2017 11:35
Местоположение пользователя: Россия, Санкт-Петербург
Ищут доверчивых покупателей начитавшихся положительных отзывов.(некоторые аж из германии отзывы шлют)
Впариваете китайскую хренотень типа QQ6 без навигации, картографии и т.п.  Нормальные, в принципе пылесосы, но цена им - 7-8 тыщ рублей, не больше.  Никак не 27-45. "Японский" сайт ashimo.jp зарегистрирован на Владимира Чулкова почему-то. (https://www.nic.ru/whois/?domain=ashimo.jp) "Японский" текст на сайте - от гугл переводчика - полный пипец, к японскому языку отношения очень мало имеет, показывали носителям. Нагоняете трафик на свой netrobots по запросам роботов-пылесосов других марок, набираете звонков и заказов за счет низких цен, но по телефону впариваете свою "ашиму" под любыми предлогами. Это мо#енничество, друзья, и скоро вам пи#дарики придут. Ждите и бойтесь! Каждый следующий заказа на 50 процентов - контрольная закупка.  За свои поступки нужно отвечать.
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18.05.2017 21:03
Местоположение пользователя: Россия, Санкт-Петербург
Посмотрите на ютубе ROBOT VA&*%$ CLEANER QQ6 и вы поймете чей робот Ashimo. А по людям толкающим его как японский уже давно зона плачет. Этот же пылесос называется как QQ6, производство в Китае и продаётся на Ali за 13000 р.
Наши жулики меняют наклейку (на Али тоже предлагают свою наклейку сделать, если им фотку прислать), пишут что их пылесос из Японии и перепродают в три конца
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18.05.2017 20:58
Местоположение пользователя: Россия, Санкт-Петербург
Жулье продающее ASHIMO, хватит уже длинными отзывами на непонятном языке задвигать реальные, а не купленные отзывы. Вот один из них.Денис Хватит обманывать людей.
Впариваете китайскую хренотень типа панды без навигации, картографии и т.п.  Нормальные, в принципе пылесосы, но цена им - 7-8 тыщ рублей, не больше.  Никак не 27-45. "Японский" сайт ashimo.jp зарегистрирован на Владимира Чулкова почему-то. (https://www.nic.ru/whois/?domain=ashimo.jp) "Японский" текст на сайте - от гугл переводчика - полный пипец, к японскому языку отношения очень мало имеет, показывали носителям. Нагоняете трафик на свой netrobots по запросам роботов-пылесосов других марок, набираете звонков и заказов за счет низких цен, но по телефону впариваете свою "ашиму" под любыми предлогами. Это мо#енничество, друзья, и скоро вам пи#дарики придут. Ждите и бойтесь! Каждый следующий заказа на 50 процентов - контрольная закупка.  За свои поступки нужно отвечать
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17.05.2017 23:19 Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1
Местоположение пользователя: Россия, Санкт-Петербург
Тоже купил это китайское фуфло.  Красная цена ASHIMO 10-12 тыс. рублей, но никак ни 27-39 тыс. рублей. Перебор 200% прибыли. Простой, без наворотов пылесос, ощущение такое что и навигации нет. Плохо справляется с крупным мусором, путается в проводах и шторах. Работает тихо, но и сосет слабо. Пока работает, но читал в инете что концов с гарантией не найти и телефон сервиса указанного в гарантийных обязательствах выключен.
 НЕ СОВЕТУЮ.
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14.05.2017 18:36 Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1Рейтинг: 1
Местоположение пользователя: Россия, Санкт-Петербург
Не ведитесь на рассказы что ASHIMO это  робот-пылесос из Японии, я нашел только надпись made in China на батарее и все больше никаких обозначений.Стоит этот робот-пылесос неизвестного производителя от 28 до почти 40 тыс. рублей в зависимости от модели. Впаривают ASHIMO на сайте " netrobot.ru". За эти деньги можно купить хороший пылесос какой нибудь известной фирмы. 
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11.05.2017 10:57
Местоположение пользователя: Россия, Владимир
Заказывал в Орел по почте. Пришел недели за две, может, раньше. Но это вместе с выходными. Пылесос уже успел протестировать и не один раз. Хорошо убирает, очень мощный, хоть и маленький. Нравится еще и то, что занимает совсем мало места и стоит под кроватью. Очень доволен покупкой, но больше всего жена! Подарил ей Ashimo Flatlogic 5517 на день рождения. Довольна подарком, конечно! Теперь время на уборку полов почти не тратит! Уже наверное забыла, когда последний раз их мыла. С этим роботом очень удобно - включаешь и занимаешься своими делами. Пылесос сам справляется. Он очень компактный, везде пролезет и все соберет. Чудесный Ashimo! Советую к приобретению и остальным. Реально, отлично все!!!
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10.05.2017 14:20 Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5Рейтинг: 5
Местоположение пользователя: Россия, undefined
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1  n2
· · ·  nm  1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l  m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl  nl+1  1}, Ml = Nl ? {nl+1  nl  1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ?  0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj  1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ?  0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1  1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ?  0.
Eaiia 2.8 I?e sj  1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0  Qk  1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj  1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ?  0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s  2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1
1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1
1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s  si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B  w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s))  l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s))  l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0  r1  r2  · · ·  rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z  1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z)  1, ord
z=0
P~s(z)  p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r  l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1  2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj  0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph  0 i?e iaeioi?ii h  1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1)  (l2, k2) ? l1  l2 eee l1 = l2 e k1  k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj  0 (a cia?eo e
P  0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph  0 i?e h  1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
 u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
 u
X
h?1
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k
+
X
uh
k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj  1 ia i?aainoiayo
 X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
=
X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1  2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii aoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii
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